La esfera en la cotidianidad

PPT sobre la esfera

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Para mayor información y análisis sobre la esfera ponemos a disposición un material powerpoint.

Elementos de una esfera

Al girar el semicírculo alrededor del diámetro AB, se genera una superficie esférica donde se determinan los siguientes elementos:

Generatriz: es la semicircunferencia que genera la superficie esférica.

Centro de la esfera: es el centro de la semicircunferencia y corresponde al punto O.

Radio de la esfera: es el radio de la semicircunferencia: OA.

Diámetro de la esfera: es el segmento que une 2 puntos opuestos de la superficie esférica, pasando por el centro: AB

Observa los elementos en este esquema:

La esfera tiene una sola cara curva.
Todos los puntos que forman la superficie esférica equidistan de uno fijo llamado centro, y que corresponde al centro de la semicircunferencia que gira.
Cortes
Una esfera puede ser cortada por un plano que pasa por su centro. De esta forma se obtienen 2 semiesferas y el plano deja como borde un círculo máximo.

Si el plano corta a la esfera sin pasar por su centro se obtienen 2 casquetes esféricos.

Principio de Cavalieri - Cálculo do Volume da Esfera

Esferas en dimensiones superiores

Se generaliza sin problema la noción de esfera en espacios vectoriales de dimensiones superiores a tres. A partir de la cuarta dimensión ya no es representable gráficamente, pero la definición sigue siendo que la esfera es el conjunto de los puntos equidistantes de un punto fijo. En un espacio euclídeo de cuatro dimensiones, usando un sistema de coordenadas cartesianas la ecuación de la esfera de radio 1 centrada en el origen es:

donde t es la cuarta coordenada. Análogamente en un espacio euclídeo de n dimensiones:

Y para una esfera de radio r, y centro (c1, c2, ..., cn):

La esfera en imágenes

Puntos de la superficie esférica

Para localizar un punto de la superficie esférica, las coordenadas cartesianas no son las más adecuadas, por varias razones: en primer lugar, porque hay tres coordenadas cartesianas, mientras que la superficie esférica es un espacio bidimensional. En segundo lugar, tratándose de una esfera, el ángulo es un concepto más adecuado que las coordenadas ortogonales.
Se elige un ecuador y un punto I del mismo como origen de los ángulos horizontales; se escoge una orientación del ecuador para definir el signo del ángulo φ; se escoge uno de los dos puntos de la esfera más distantes del ecuador –llamados polos, K en la figura– para definir el signo del ángulo θ.

Todo punto de la esfera está localizado de manera inequívoca por los dos ángulos θ y φ. Este resultado es muy intuitivo: con un ángulo sobre el plano horizontal (plano del ecuador) y otro vertical (hacia un polo) desde el punto I, se puede localizar cualquier punto de la esfera.
En geometría, normalmente, se expresan estos ángulos en radianes (pues permite calcular longitudes de arcos de circunferencia), mientras que en geografía se usan los grados: en este caso, θ es la latitud del punto y φ su longitud si se toma I en el punto del ecuador del meridiano de Greenwich y K en el polo norte. Las latitudes positivas corresponden al hemisferio norte, y longitudes positivas al hemisferio Este (véase M en la figura).
Introducir el tercer parámetro r = OM permite localizar cualquier punto del espacio con las coordenadas esféricas (r, φ, θ). Si se impone tomar φ en un intervalo semi-abierto de longitud 2π y θ en uno de longitud π, entonces, cualquier punto del espacio tiene coordenadas esféricas únicas, salvo los del eje vertical (OK) (donde cualquier valor de φ vale).
Las coordenadas cartesianas (x, y, z) en el sistema de coordenadas (0, I, J, K) vienen dadas por:

Recíprocamente, a partir de las coordenadas cartesianas, se obtienen las esféricas con las fórmulas:

Secciones de una esfera

La intersección de un plano y una esfera siempre es un círculo. La esfera es el único volumen que tiene esta propiedad. Lógicamente, si el plano es tangente, el área de contacto queda reducido a un punto (puede considerarse el caso límite de la intersección).
Si el plano pasa por el centro de la esfera, el radio del círculo es el mismo que el de la esfera, r. En este caso, la circunferencia puede llamarse ecuador o círculo máximo.
Si la distancia d, entre el plano y el centro, es inferior al radio r de la esfera, aplicando el teorema de Pitágoras, el radio de la sección es:

Por otra parte, dos esferas se intersectan si:

son las desigualdades triangulares, y equivalen a que ningún lado es superior a la suma de los otros dos), es decir, si existe un triángulo con lados que midan r, r' y d, donde d es la distancia entre los centros de las esferas, r y r' sus radios.
En tal caso, la intersección es también una circunferencia. Cuando una de las desigualdades anteriores es una igualdad, la intersección será un punto, que equivale a una circunferencia de radio cero.
En general, el radio es:

Ecuación cartesiana

En un sistema de coordenadas cartesianas en un espacio euclídeo tridimiensional, la ecuación de la esfera unitaria (de radio 1) centrada en el origen es:


Esta ecuación se obtiene considerando que en el punto M (x, y, z) de la esfera, el vector normal OM es igual a 1.
Generalizando, la esfera de radio r, de centro Ω (a, b, c) tiene como ecuación:

La ecuación del plano tangente en el punto M (x', y', z') se obtiene mediante el desdoblamiento de las variables: en el caso de la esfera unitaria:

y en el segundo ejemplo:

Área y volúmen de una esfera

La superficie de una esfera de radio, r, es S = 4·π·r2
El volumen de una esfera de radio, r, es V = 4·π·r3/3
Si se consideran la superficie y el volumen como funciones S(r) y V(r) del radio, entonces se nota que la superficie es la derivada del volumen, y éste es una primitiva (la que verifica V(0) = 0) de la superficie. Este hecho no es casualidad, pues se puede descomponer el volumen en capas de espesor arbitrariamente pequeño dr, y los volúmenes de estas capas se aproximan a S(r)·dr cuando dr tiende hacia cero.Sumando los volúmenes (infinitesimales) de todas estas capas (en cantidad infinita) cuando el radio r varía de cero a R da por definición la integral siguiente:

La esfera

Es el cuerpo redondo y sólido que se genera al rotar un semicírculo alrededor de su diámetro. Este cuerpo está limitado por una superficie curva cuyos puntos equidistan de otro interior llamado centro de la esfera.

La esfera es la figura geométrica que para igual volumen presenta la superficie externa menor. Esta propiedad es la causa de su omnipresencia en el mundo físico: en la superficie de una gota de un líquido inmerso en un ambiente gaseoso o también líquido (pero con líquidos de densidades no solubles), existen fuerzas superficiales que deformarán la gota hasta encontrar el valor mínimo de tensión en todos los puntos de la misma, y este mínimo corresponde a una esfera, en ausencia de toda perturbación exterior. Se genera haciendo girar un semicírculo alrededor de su diámetro.